余数的循环之美

本页为课堂交互式课件的静态预览。课堂上,每个公式与图形都会分步动态呈现,并配合即时提问。

引入:7 的幂的个位

我们来观察 $7^n$ 的个位数字随 $n$ 变化的规律:

把个位数字列出来:$7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, \ldots$

发现了吗? 个位以 $7 \to 9 \to 3 \to 1$ 为一个周期,长度为 $4$。

用同余语言描述

个位数字就是除以 $10$ 的余数。我们写作:

由于周期为 $4$,要求 $7^{100}$ 的个位,只需看 $100$ 除以 $4$ 的余数:

余数为 $0$ 对应周期里的最后一项,所以 $7^{100}$ 的个位是 $\boxed{1}$。

课堂提问

1. $7^{2026}$ 的个位是多少?
2. 把底数换成 $3$,周期会变吗?长度是多少?
3. 你能找出哪些个位数字的幂周期长度恰好是 $1$ 吗?

这种"观察—猜想—验证—推广"的链条,正是我们希望 G6–G8 学生养成的数学思维习惯。